本文整理「面積向量，是向量嗎？」的主要論證：面積向量不是因為「有大小、有方向」而成立，而是因為它的加法、投影、內積與外積都能精確反映幾何與物理問題。
原文：史英，〈面積向量，是向量嗎？〉，2021-07-30。開啟 PDF
面積本來是純量；在三度空間中，一片平面區域除了大小，還有傾斜方向。若用單位法向量表示方向，就得到一個兼有大小與方向的量。然而，「有大小、有方向」只是外觀條件，不足以保證它是有意義的向量。
真正關鍵在於運算。若一個量被稱為向量，它的加法、分解、投影、內積等運作，必須能對應到它所代表的幾何或物理意義。否則只是把箭頭畫在某個量上，並不能提供有效的數學結構。
設平面區域的實際面積為 \(a\)，選定單位法向量 \(\mathbf{N}\)。遠方觀察者沿單位視線方向 \(\mathbf{V}\) 看它時，由於斜向長度縮短，看到的是投影面積。
\(\text{可見面積}=a\cos\theta=a(\mathbf{N}\cdot\mathbf{V})\)其中 \(\theta\) 是 \(\mathbf{N}\) 與 \(\mathbf{V}\) 的夾角。這個式子把純量面積 \(a\) 與方向 \(\mathbf{N}\) 結合為一個新量：
\(\mathbf{A}=a\mathbf{N}\)於是投影公式變成：
\(\text{可見面積}=\mathbf{A}\cdot\mathbf{V}\)面積向量因此不是先被命名，再尋找用途；它是為了簡潔而準確地描述投影面積而自然產生。
對兩塊面積 \(\mathbf{A}=a\mathbf{N}_1\)、\(\mathbf{B}=b\mathbf{N}_2\)，從同一視線方向 \(\mathbf{V}\) 觀察時，看到的投影面積和為：
\(a(\mathbf{N}_1\cdot\mathbf{V})+b(\mathbf{N}_2\cdot\mathbf{V})\)利用內積的線性性，可改寫為：
\((a\mathbf{N}_1+b\mathbf{N}_2)\cdot\mathbf{V}=(\mathbf{A}+\mathbf{B})\cdot\mathbf{V}\)因此，對任何投影方向 \(\mathbf{V}\)，面積向量 \(\mathbf{A}+\mathbf{B}\) 的投影，恰好等於兩塊原面積投影的和。這給出了面積向量加法的客觀意義。
若觀察者調整視線，使看到的總投影面積最大，則由柯西不等式：
\((\mathbf{A}+\mathbf{B})\cdot\mathbf{V}\leq|\mathbf{A}+\mathbf{B}|\,|\mathbf{V}|=|\mathbf{A}+\mathbf{B}|\)最大值在 \(\mathbf{V}\) 與 \(\mathbf{A}+\mathbf{B}\) 同向時達成。因此 \(\mathbf{A}+\mathbf{B}\) 本身也代表一塊面積：大小為 \(|\mathbf{A}+\mathbf{B}|\)，法向量沿 \(\mathbf{A}+\mathbf{B}\)。
若一塊面積的面積向量為
\(\mathbf{A}=a_1\mathbf{i}+a_2\mathbf{j}+a_3\mathbf{k}\)則 \(a_3=\mathbf{A}\cdot\mathbf{k}\) 是把該面積投影到 \(XY\) 平面上的有向面積；同理，\(a_1\)、\(a_2\) 分別對應到 \(YZ\)、\(ZX\) 平面的投影面積。
設流體速度為常向量 \(\mathbf{V}\)，平面窗戶的面積向量為 \(\mathbf{A}=a\mathbf{N}\)。單位時間內通過窗戶的體積為窗戶面積乘上速度在法向量方向的分量：
\(\text{流量}=a(\mathbf{N}\cdot\mathbf{V})=\mathbf{A}\cdot\mathbf{V}\)若有兩扇窗，面積向量分別為 \(\mathbf{A}\) 與 \(\mathbf{B}\)，總流量為：
\(\mathbf{A}\cdot\mathbf{V}+\mathbf{B}\cdot\mathbf{V}=(\mathbf{A}+\mathbf{B})\cdot\mathbf{V}\)這表示兩扇窗對流量的效果，可由一個等效面積向量 \(\mathbf{A}+\mathbf{B}\) 表示。若速度大小固定，要使流量最大，速度方向應與 \(\mathbf{A}+\mathbf{B}\) 同向。
當面積區域是由兩個向量 \(\mathbf{V}\)、\(\mathbf{W}\) 張出的平行四邊形時，其面積向量稱為外積：
\(\mathbf{V}\times\mathbf{W}\)大小是平行四邊形面積，方向由右手定則決定。外積的反交換律不是任意規定，而是由分配律與同向向量張出面積為零共同逼出：
\((\mathbf{V}+\mathbf{W})\times(\mathbf{V}+\mathbf{W})=\mathbf{0}\) \(\mathbf{V}\times\mathbf{V}+\mathbf{V}\times\mathbf{W}+\mathbf{W}\times\mathbf{V}+\mathbf{W}\times\mathbf{W}=\mathbf{0}\) \(\mathbf{V}\times\mathbf{W}+\mathbf{W}\times\mathbf{V}=\mathbf{0}\)，因此 \(\mathbf{V}\times\mathbf{W}=-(\mathbf{W}\times\mathbf{V})\)在二維平面中，若 \(\mathbf{V}=(v_1,v_2)\)、\(\mathbf{W}=(w_1,w_2)\)，有向面積為：
\(v_1w_2-v_2w_1\)在三維中，外積各分量可由平行四邊形投影到三個座標面上的有向面積得到：
\(\mathbf{V}\times\mathbf{W}=(v_2w_3-v_3w_2)\mathbf{i}+(v_3w_1-v_1w_3)\mathbf{j}+(v_1w_2-v_2w_1)\mathbf{k}\)